La teoria degli insiemi, elaborata dal matematico tedesco George Cantor trova le sue applicazioni sia in campo teorico che pratico. In questo capitolo analizzeremo il concetto di insieme e i modi per rappresentarlo. Fisseremo alcune proprietà e caratteristiche. Tratteremo il concetto di sottoinsieme e analizzeremo in particolare alcuni sottoinsiemi della retta e del piano.
Concetto di insieme
L’insieme indica un raggruppamento di oggetti, di persone o di entità di natura più varia, che chiameremo elementi dell’insieme, i quali hanno in comune una stessa proprietà detta proprietà caratteristica dell’insieme.
Un insieme s’indica con le lettere maiuscole: A-B-C. I loro elementi con le lettere minuscole: a,b,c.
Con il simbolo Î indichiamo l’appartenenza di un elemento a un insieme.
Esempio:
3ÎN significa “3 appartiene all’insieme dei numeri naturali.
Con il simbolo Ïindichiamo la non appartenenza di un elemento a un insieme.
Esempi:
-3 ÏN significa che “-3 non appartiene all’insieme dei numeri naturali.
L’insieme si può rappresentare in tre modi.
Esempio:
Indichiamo con A l’insieme costituito dai compagni di scuola di Federica: Maria, Cinzia, Paola.
a) Tabella o rappresentazione tabulare
E’ l’elenco di tutti gli elementi dell’insieme. Si pensi per esempio, all’elenco degli alunni di una classe.
A={Maria, Cinzia, Paola}
b) Rappresentazione per proprietà caratteristica
Quando un insieme è costituito da numerosi elementi o addirittura da infiniti elementi, non è conveniente usare la tabella per rappresentarlo. In questo caso è più efficace evidenziare la proprietà in base alla quale sono ugualmente caratterizzati tutti gli elementi che appartengono a esso.
A={x|x è compagna di Maria}
c) Diagramma di Venn
E’ una linea chiusa entro la quale si fissano a piacere dei punti ognuno dei quali corrisponde ad un elemento dell’insieme. Se l’insieme è infinito, il suo diagramma di Venn si riduce alla sola linea chiusa.
Sottoinsieme di un insieme
Si dice che un insieme A è sottoinsieme di un insieme B se tutti gli elementi di A sono elementi di B.
A Ì B